La opción disponible desde el Centro de Software o el .deb diseñado para debian/Ubuntu que está en la pagina oficial de Dropbox no se integran ni funcionan correctamente en elementaryOS.
Para instalar Dropbox e integrarlo correctamente podemos usar el proyecto en GitHub de Héctor Molinero.
1. Instalar GIT (si no lo tenemos ya instalado)
sudo apt-get install git
2. Clonar el repositorio
git clone https://github.com/zant95/elementary-dropbox /tmp/elementary-dropbox
3. Instalar Dropbox
bash /tmp/elementary-dropbox/install.sh
Debemos confirmar algunos mensajes del script de instalación (es decir, teclear y+Enter). Cada mensaje indica su función.
Al finalizar Dropbox iniciará (si así lo indicamos) y podremos acceder con nuestro usuario y contraseña para empezar a usarlo.